Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>B</i> = 22,5°,  ∠<i>C</i> = 45°.  Докажите, что высота <i>АН</i>, медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>CL</i> пересекаются в одной точке.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга.

Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  |<i>x – y</i>| ≤ 2  и  |3<i>x + y</i>| ≤ 6.

Дан правильный девятиугольник.

Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?

Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что  <i>MK = KN</i>.

Сравните: sin 3 и sin 3°.

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?

Последовательность <i>a_n</i> задана условием:  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n – a</i>_<i>n</i>–1.  Найдите <i>a</i>₁₀₀, если  <i>a</i>₁ = 3,  <i>a</i>₂ = 7.