Олимпиадные задачи из источника «8 класс»
8 класс
НазадПетя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?
На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>АС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>MKB</i> равен углу <i>MNC</i>, а угол <i>KMB</i> равен углу <i>KNA</i>. Докажите, что <i>NB</i> – биссектриса угла <i>MNK</i>.
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116928/problem_116928_img_2.gif">.
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
В треугольнике <i>ABC</i> медиана, проведённая из вершины <i>A</i> к стороне <i>BC</i>, в четыре раза меньше стороны <i>AB</i> и образует с ней угол 60°. Найдите угол <i>А</i>.
На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?
На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333 ?
В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?
Известно, что числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> – целые и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116922/problem_116922_img_2.gif">. Может ли выполняться равенство <i>аbcd</i> = 2012?
В классе – 17 человек. Известно, что среди любых десяти есть хотя бы одна девочка, а мальчиков больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе?
На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.
Ваня пошел с папой в тир. Уговор был такой: Ване даются 10 патронов, и за каждое попадание в цель он получает ещё три патрона. Ваня сделал 14 выстрелов и ровно в половине из них он попал в цель. Сколько патронов осталось у Вани?