Олимпиадные задачи из источника «2011/12» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями
Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>ab = cd</i>. Может ли число <i>a + b + c + d</i> оказаться простым?
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>BK = KL = LC</i>, а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,
что <i>АМ</i> = ⅓ <i>AC</i>. Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i>, отличных от нуля, выполняется равенство: <i>a</i>²(<i>b + c – a</i>) = <i>b</i>²(<i>c + a – b</i>) = <i>c</i>²(<i>a + b – c</i>). Следует ли из этого, что <i>а = b = c</i>?
В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?
В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.
Докажите, что <i>BQ = BC</i>.
Является ли простым число 2011·2111 + 2500?
Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.
Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?
Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?
Рассматриваются все треугольники <i>АВС</i>, у которых положение вершин <i>В</i> и <i>С</i> зафиксировано, а вершина <i>А</i> перемещается в плоскости треугольника так, что медиана <i>СМ</i> имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка <i>А</i>?
Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма 1<sup><i>n</i></sup> + 2<sup><i>n</i></sup> + 3<sup><i>n</i></sup> + 4<sup><i>n</i></sup> оканчивается на 0?
В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 60°, <i>М</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i>.
Найдите угол <i>IMA</i>, где <i>I</i> – центр окружности, вписанной в данный треугольник.
Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.
На плоскости дан квадрат и точка <i>Р</i>. Могут ли расстояния от точки <i>Р</i> до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что <i>AD</i> = ⅓ <i>AC, CE</i> = ⅓ <i>CE</i>. Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.
Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> , если <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">, <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.
Известно, что выражения 4<i>k</i> + 5 и 9<i>k</i> + 4 при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение 7<i>k</i> + 4 при тех же значениях <i>k</i>?
Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?
В клетках квадратной таблицы 5×5 расставлены числа 1 и –1. Известно, что строк с положительной суммой больше, чем с отрицательной.
Какое наибольшее количество столбцов этой таблицы может оказаться с отрицательной суммой?
По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?
Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал ⅕ общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал <sup>1</sup>/<sub>7</sub> часть от общего количества. Сколько было школьников?