Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: траектория точки A в треугольнике, 8-10 класс

Задача 216538 • Сложность: 2 • 8-10 класс
Задача

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

Авторы:
Фольклор
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Московская математическая регата Олимпиады и турниры 2011/12 8 класс
Количество версий:
4
Решение

  В одном из рассматриваемых треугольников проведём через вершину А прямую параллельно CM, которая пересечёт прямую ВС в точке K (см. рис.).

  По теореме Фалеса,  KC = BC,  то естьCM– средняя линия треугольникаAKB. Следовательно,  AK= 2CM.   Так как положение вершинВиСфиксировано, то положение точкиKтакже фиксировано. При движении точкиАдлина отрезкаAKне изменяется, следовательно, точкаАдвижется по окружности с центромКи радиусом 2СМ. (Из этой окружности надо исключить две точки, лежащие на прямойBC.)
Ответ

По окружности.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет