Существует ли треугольник с центрами окружностей и точками встреч в узлах сетки? Олимпиадная задача по планиметрии
Задача
Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?
Решение
Расположим вершины прямоугольного треугольника АВС в точках А(18, 0), В(0, 24), C(0, 0) (его стороны в 6 раз больше сторон египетского треугольника). Точка пересечения его высот совпадает с вершиной С. Центр описанной окружности – середина АВ – имеет координаты (9, 12). Радиус r вписанной окружности равен ½ (a + b + c) = 6 (см. задачу 156656), а её центр имеет координаты (r, r). Координаты точки пересечения медиан являются средним арифметическим координат вершин, то есть равны (6, 8).
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет