Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 1 с решениями

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

В трапеции <i>ABCD</i> биссектриса тупого угла <i>B</i> пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i> – его середине, <i>M</i> – середина <i>BC,  AB = BC</i>.

Найдите отношение  <i>KM</i> : <i>BD</i>.

Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором  <i>n</i>²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.

Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>c</i>  (см. рисунок). В каких точках график функции  <i>y = cx + a</i>  пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>