Докажем сначала, что в выпуклый многоугольник площадиSи периметраPможно поместить круг радиусаS/P. Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй сторонойR=S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются и могут вылезать за его пределы, а сумма их площадей равна площади многоугольника). Непокрытая точка удалена ото всех сторон многоугольника больше, чем наR, поэтому круг радиусаRс центром в этой точке целиком лежит внутри многоугольника. Таким образом, во внутренний многоугольник можно поместить круг радиусаS₂/P₂. Ясно, что этот круг лежит внутри внешнего многоугольника. Остаётся доказать, что если внутри многоугольника лежит круг радиусаR, тоR≤ 2S/P. Для этого соединим центрOкруга с вершинами. Тогда многоугольник разобьётся на треугольники с площадямиh_ia_i/2, где h_i— расстояние от точкиOдоi-й стороны, аa_i— длинаi-й стороны. Так какh_i≥R, то 2S=$\sum$h_ia_i≥$\sum$Ra_i=RP.

Ответ задачи отсутствует