Олимпиадные задачи из источника «1981 год» для 11 класса
За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?
Доказать, что последовательность<i>x</i><sub>n</sub>= sin(<i>n</i><sup>2</sup>) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если <i>x</i> – целое число, то <i>P</i>(<i>x</i>) – целое число, кратное <i>p</i>
(<i>p</i> – натуральное число). Доказать, что <i>n</i>! делится на <i>p</i>.
Рассматривается функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа<i>k</i>≠ 0 соотношению<i>f</i>(<i>x</i>+<i>k</i>)<sup> . </sup>(1 −<i>f</i>(<i>x</i>)) = 1 +<i>f</i>(<i>x</i>). Доказать, что<i>f</i>(<i>x</i>) — периодическая функция.
<i>X</i>и<i>Y</i>— два выпуклых многоугольника, причём многоугольник<i>X</i>содержится внутри<i>Y</i>. Пусть<i>S</i>(<i>X</i>) и<i>S</i>(<i>Y</i>) — площади этих многоугольников, а<i>P</i>(<i>X</i>) и<i>P</i>(<i>Y</i>) — их периметры. Доказать, что${\frac{S(X)}{P(X)}}$< 2<sup> . </sup>${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$.
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?