Задача
Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.
Решение
Рассмотрим многочлены P1(х) = P(х) – P(х – 1), P2(х) = P1(x) − P1(х – 1), ..., Pi(х) = Pi–1(х) − Pi–1(х – 1), ..., Pn(х) = Pn–1(х) − Pn–1(х – 1). Степень многочлена Pi(х) равна n − i (см. задачу 161433) и и Pi(x) при любом целом x делится на p. Но Pn(х) = n! (см. задачу 161437), и поэтому n! кратно p.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет