Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 7 класса
Лист клетчатой бумаги размером<i>N</i>×<i>N</i>раскрасили в<i>N</i>цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих<i>N</i>цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено а)<i>N</i><sup>2</sup>- 1 клетка? б)<i>N</i><sup>2</sup>- 2 клетки? в)<i>N</i>клеток?
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?