Будем постепенно перекрашивать нашу фигуру. На первом шаге перекрасим одну из чёрных клеток в синий цвет, а всех её белых соседей, принадлежащих фигуре, – в жёлтый. На следующем шаге перекрасим чёрную клетку, соседнюю с желтой, в синий цвет, а всех её белых соседей – в жёлтый. И так далее.

  Поскольку фигура связная, а чёрных клеток ровно k, то ровно через k шагов вся фигура будет перекрашена. При этом на первом шаге перекрашиваются не более пяти клеток, а на каждом из остальных – не более четырёх (одна чёрная и три белых). Следовательно, всего в фигуре не более  4k + 1  клеток.

  На рисунке приведён пример фигуры ровно из  4k + 1  клетки.

4k + 1.