Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 4-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Правильный треугольник<i>ABC</i>разбит на<i>N</i>выпуклых многоугольников так, что каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая проходит через вершину многоугольника). Может ли быть<i>N</i>больше миллиона?

Внутри выпуклого многоугольника<i>M</i>помещена окружность максимально возможного радиуса<i>R</i>(это значит, что внутри<i>M</i>нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника<i>M</i>и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что<i>R</i>$\ge$1/3.

Дано натуральное число <i>N</i>. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом <i>N</i>₁ проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из <i>N</i> можно получить однозначное число.

Известно, что  <i>aⁿ – bⁿ</i>  делится на <i>n</i> (<i>a, b, n</i> – натуральные числа,  <i>a ≠ b</i>).  Доказать, что <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78682/problem_78682_img_2.gif"> делится на <i>n</i>.

На окружности радиуса 1 отмечена точка<i>O</i>и из неё циркулем делается засечка вправо радиусом<i>l</i>. Из полученной точки<i>O</i>₁в ту же сторону тем же радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?

Страна Фарра расположена на1 000 000 000 островов. Между некоторыми островами каждый день курсируют пароходы. Маршруты пароходов устроены так, что с каждого острова можно попасть на любой другой (возможно, за несколько дней). Шпион и майор Пронин могут совершать не более одного рейса в день на пароходе и не имеют никакой другой возможности попасть с острова на остров. Шпион не ездит на пароходе 13 числа каждого месяца, майор Пронин не суеверен и всегда знает, где находится шпион. Доказать, что майор сможет поймать шпиона (т.е. оказаться с ним на одном острове).

На бумажной ленте напечатаны автобусные билеты с номерами от 000 000 до 999 999. Затем синей краской пометили те билеты, у которых сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Какая будет наибольшая разность между номерами двух соседних синих билетов?

Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?

Двухсотзначное число89252525...2525 умножено на число 444<i>x</i>18<i>y</i>27 (<i>x</i>и<i>y</i>— неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти<i>x</i>и<i>y</i>.

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)? <b>Замечание.</b> Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

На плоскости отмечено 1968 точек, являющихся вершинами правильного 1968-угольника. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди соединяет две вершины многоугольника отрезком, соблюдая следующие правила: нельзя соединять две точки, хотя бы одна из которых уже соединена с чем-то, и нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода согласно этим правилам. Как нужно играть, чтобы выиграть?

Кто выигрывает при правильной игре?

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число <i>m</i> получается из числа <i>n</i> вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и <i>m</i>, и <i>n</i> принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?

Двое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выиграет, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?

Из пункта <i>A</i> одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?

Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – два простых числа, причём  <i>q = p</i> + 2,  то  <i>p^q + q^p</i>  делится на  <i>p + q</i>.

В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины 1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина дорожки равна ширине коридора)?

Существует ли четырёхугольник<i>ABCD</i>площади 1 такой, что для любой точки<i>O</i>внутри него площадь хотя бы одного из треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>,<i>DOA</i>иррациональна.

Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям  <i>x</i>₁ = 1,  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 2<i>x</i>₁,  0 ≤ <i>x</i>₃ ≤ 2<i>x</i>₂,  ...,  0 ≤ <i>x</i>₉₉ ≤ 2<i>x</i>₉₈,  0 ≤ <i>x</i>₁₀₀ ≤ 2<i>x</i>₉₉, так, чтобы выражение

<i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ – <i>x</i>₄ + ... + <i>x</i>₉₉ – <i>x</i><sub>10...

Можно ли вписать в окружность выпуклый семиугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇с углами<i>A</i>₁= 140^<tt>o</tt>,<i>A</i>₂= 120^<tt>o</tt>,<i>A</i>₃= 130^<tt>o</tt>,<i>A</i>₄= 120^<tt>o</tt>,<i>A</i>₅= 130<...

Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.

В шахматном турнире участвовало 12 человек. После окончания турнира каждый участник составил 12 списков. В первый список входит только он сам, во второй -- он и те, у кого он выиграл, в третий — все люди из второго списка и те, у кого они выиграли, и т.д. В 12 список входят все люди из одиннадцатого списка и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника турнира в его двенадцатый список попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке. Сколько ничейных партий было сыграно в турнире?

Как соединить 50 городов наименьшим числом авиалиний так, чтобы из каждого города можно было попасть в любой, сделав не более двух пересадок?

Доказать, что для любых трёх чисел, меньших 1000000, найдётся число, меньшее 100 (но большее 1), взаимно простое с каждым из них.