Задача
Внутри выпуклого многоугольникаMпомещена окружность максимально возможного радиусаR(это значит, что внутриMнельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольникаMи при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, чтоR$\ge$1/3.
Решение
Окружность максимального радиусаRкасается трёх сторон многоугольника. Если две из этих сторон параллельны, тоR$\ge$${\frac{1}{2}}$>${\frac{1}{3}}$. Рассмотрим теперь случай, когда продолжения этих сторон образуют треугольник. Длина каждой высоты этого треугольника не меньше 1, поэтому для его площадиSимеют место неравенстваS$\ge$${\frac{a}{2}}$,S$\ge$${\frac{b}{2}}$,S$\ge$${\frac{c}{2}}$. Следовательно,S$\ge$p/3, гдеp— полупериметр. С другой стороны,S=pR, поэтомуR$\ge$${\frac{1}{3}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь