Задача
Правильный треугольникABCразбит наNвыпуклых многоугольников так, что каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая проходит через вершину многоугольника). Может ли бытьNбольше миллиона?
Решение
Если провести разрезы, близкие к вершинам выпуклогоn-угольника, то можно отсечь от негоnтреугольников и получить выпуклый 2n-угольник. Легко проверить, что при этом любая прямая пересекает не более двух отсечённых треугольников.
Отсечём от правильного треугольника 3 треугольника, затем от полученного шестиугольника — 6 треугольников и так далее, до тех пор, пока не получим3 . 219-угольник. Любая прямая может пересечь не более двух треугольников, отсекаемых на каждом шаге. Поэтому всего прямая может пересечь не более1 + 2 . 19 = 39 многоугольников. Общее число многоугольников, на которые разбит правильный треугольник, равно1 + 3 + 3 . 2 + ... + 3 . 218= 1 + 3(219- 1) > 220= (210)2> 10002. Ясно, что можно отсекать не все треугольники, чтобы получить ровно 1000000 многоугольников.
Ответ
Да.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь