Покажем сначала, что синие билеты с номерами 908919 и 909909 — соседние. Допустим, что нашёлся синий билет с номером 908919 <X=$\overline{abcdef}$< 909909. Тогда a= 9,b= 0. Рассмотрим сначала случай c= 8. Тогда d= 9 и e$\ge$1, а значит,a+c+e$\ge$18. Так как билет синий, то f=b+d+f-b-d=a+c+e- 0 - 9$\ge$9. Поскольку f — цифра,f= 9, т. е. X= 908919, что противоречит предположению. Теперь рассмотрим случай c= 9. В этом случае a+c+e$\ge$a+c= 18. Дальнейшее полностью повторяет рассуждение для предыдущего случая.

Теперь докажем, что разность между номерами X<Yдвух соседних синих билетов не может больше, чем 990. Предположим, что Y-X> 990. Заметим сначала, что числа Xи Yделятся на 11, а значит, их разность также делится на 11. Следовательно,Y-X$\ge$1001. С другой стороны, все билеты с номерами вида $\overline{abcabc}$ — синие, а разность между соседними числами такого вида равна 1001. Следовательно,Y-X= 1001,X=$\overline{abcabc}$.

Рассмотрим случай a$\le$8. Если c$\ge$1, то между билетами Xи Yнайдётся синий билет $\overline{abc(a+1)b(c-1)}$. Если b$\ge$1, то билет X<$\overline{abc(a+1)(b-1)c}$<Yсиний. Остался случай b=c= 0. Но в этом случае билет X<$\overline{a00a11}$<Yсиний. Итак, при a$\le$8 билеты X=$\overline{abcabc}$и X+ 1001 не могут быть соседними синими.

Рассмотрим теперь случай a= 9. Если b$\le$8, то между Xи Yнайдётся синий билет с номером $\overline{9bc8(b+1)c}$. Если же b= 9, то между X=$\overline{99c99c}$и Y=$\overline{99(c+1)99(c+1)}$найдётся синий билет с номером $\overline{99(c+1)98c}$.

990.00