Олимпиадные задачи из источника «1961 год» - сложность 2 с решениями
<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что <i>ak + bl</i> делится на <i>p</i>.
<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно <i>n</i> – 1.
Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.
С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами<i>r</i><sub>1</sub>,<i>r</i><sub>2</sub>,<i>r</i><sub>3</sub>,<i>r</i><sub>4</sub>, причём<i>r</i><sub>1</sub>+<i>r</i><sub>3</sub>=<i>r</i><sub>2</sub>+<i>r</i><sub>4</sub><<i>d</i>;<i>d</i>— диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.
Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78261/problem_78261_img_2.gif"></div>Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.
Доказать, что не существует целых чисел <i>a, b, c, d</i>, удовлетворяющих равенствам:
<i>abcd – a</i> = 1961,
<i>abcd – b</i> = 961,
<i>abcd – c</i> = 61,
<i>abcd – d</i> = 1.
Известно, что<i>Z</i><sub>1</sub>+ ... +<i>Z</i><sub>n</sub>= 0, где<i>Z</i><sub>k</sub>— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120<sup><tt>o</tt></sup>.
Дана последовательность чисел <i>F</i><sub>1</sub>, <i>F</i><sub>2</sub>, ...; <i>F</i><sub>1</sub> = <i>F</i><sub>2</sub> = 1 и <i>F</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>F<sub>n</sub> + F</i><sub><i>n</i>+1</sub>. Доказать, что <i>F</i><sub>5<i>k</i></sub> делится на 5 при <i>k</i> = 1, 2, ... .
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.
См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78240">задачу 3 для 7 класса</a>.
Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i><sub>1</sub>,<i>M</i><sub>2</sub>,<i>M</i><sub>3</sub>— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>3</sub>равна 1/9 площади<i>ABC</i>.
Имеется трёхзначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span>, берём <span style="text-decoration: overline;"><i>cba</i></span> и вычтем из большего меньшее. Получим число <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub><i>c</i><sub>1</sub></span>, сделаем с ним то же самое и т.д.
Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай <i>a</i><sub>1</sub> = 0 допускается.
Доказать, что если <i>n</i> чётно, то числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>² можно таким образом расположить в квадратную таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.