Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 2-8 класса

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной

1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Коля и Петя делят 2<i>n</i>+ 1 орехов,<i>n</i>$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.

3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;

При втором способе Коля берёт обе средние части;

При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.

Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что  <i>ak + bl</i>  делится на <i>p</i>.

Дана четвёрка ненулевых чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Из неё получается новая<i>ab</i>,<i>bc</i>,<i>cd</i>,<i>da</i>по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, кроме случая, когда<i>a</i>=<i>b</i>=<i>c</i>=<i>d</i>= 1.

Доказать, что не существует целых чисел <i>a, b, c, d</i>, удовлетворяющих равенствам:

  <i>abcd – a</i> = 1961,

  <i>abcd – b</i> = 961,

  <i>abcd – c</i> = 61,

  <i>abcd – d</i> = 1.

Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.

В квадрате<i>ABCD</i>на стороне<i>AB</i>взята точка<i>P</i>, на стороне<i>BC</i>— точка<i>Q</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>R</i>, на стороне<i>DA</i>—<i>S</i>; оказалось, что фигура<i>PQRS</i>— прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник<i>PQRS</i>— либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.

Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.

Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три точки из данных, то треугольник<i>ABC</i>— тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Дан остроугольный треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. Пусть точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— центры квадратов, построенных на сторонах<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀,<i>A</i>₀<i>B</i>₀. С треугольником<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁делаем то же самое. Получаем треуг...

Имеется трёхзначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span>, берём <span style="text-decoration: overline;"><i>cba</i></span> и вычтем из большего меньшее. Получим число  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>b</i>₁<i>c</i>₁</span>,  сделаем с ним то же самое и т.д.

Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай  <i>a</i>₁ = 0  допускается.

Доказать, что если <i>n</i> чётно, то числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>² можно таким образом расположить в квадратную таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.