Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 8 класса
Решить в натуральных числах уравнение <i>x</i><sup>2<i>y</i>–1</sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>2<i>y</i>–1</sup> = (<i>x</i> + 2)<sup>2<i>y</i>–1</sup>.
Доказать, что если целое <i>n</i> > 1, то 1<sup>1</sup>·2²·3³·...·<i>n<sup>n</sup> < n</i><sup><i>n</i>(<i>n</i>+1)/2</sup>.
Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами <i>m</i> и <i>n</i>. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?
Доказать, что если целое <i>n</i> > 2, то (<i>n</i>!)² > <i>n<sup>n</sup></i>.
Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.
Дана следующая треугольная таблица чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78134/problem_78134_img_2.gif"></div>Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки. Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.
На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.
Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?
В круге проведены два диаметра<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что если<i>M</i>— произвольная точка окружности, а<i>P</i>и<i>Q</i>— её проекции на диаметры<i>AB</i>и<i>CD</i>, то длина отрезка<i>PQ</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>.
Имеется система уравнений *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.