Олимпиадные задачи из источника «Кружки МЦНМО» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой – до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех <b>цифр</b> равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.

Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Доказать, что число  <i>n</i>⁵ – 5<i>n</i>³ + 4<i>n</i>  делится на 120 при любом натуральном <i>n</i>.

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок – в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше – чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

Решите уравнение  12<i>a</i> + 11<i>b</i> = 2002  в натуральных числах.

Решите уравнение в целых числах  <i>m</i>² − <i>n</i>² = 2002.

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

<b>Два взвешивания.</b>Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивых (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

<b>Три попарно касающиеся окружности.</b>Из трех данных точек как из центров постройте три попарно касающиеся окружности.

Решите систему уравнений:

    ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> = 6,

    ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 4,

    ¹/_<i>z</i> + ¹/_<i>x</i> = 5.

<b> Режем прямоугольник.</b>Клетчатый прямоугольник разрезали на прямоугольники 1 х 2 (доминошки) так, что любая прямая, идущая по линиям сетки, рассекает кратное четырем число доминошек. Докажите, что длина одной из сторон делится на 4.

Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на её мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

При каких значениях <i>a</i> и <i>b</i> выражение  <i>p</i> = 2<i>a</i>² − 8<i>ab</i> + 17<i>b</i>² − 16<i>a</i> − 4<i>b</i> + 2044  принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.

Доказать, что каждое из чисел последовательности 11, 111, 1111, ... не является квадратом натурального числа.

Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 желтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд — одного цвета.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:

  а)  80 коп.;

  б)  одного рубля.

<b>Найти сумму.</b>Найти сумму <img src="/storage/problem-media/88337/problem_88337_img_2.gif" width="236" height="42" alt="summa"><br clear="all">.

<b>Налим-лиман.</b>Найти такие цифры, которые при подстановке их вместо букв в выражение НАЛИМ × 4 = ЛИМАН давали тождество (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым одинаковые)