Олимпиадная задача: Трёхзначное число с одинаковыми первой и последней цифрами. Теория чисел
Задача
Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.
Решение
Обозначим первую цифру нашего числа буквой a, вторую буквой b. По условию последняя цифра тоже равна a. Тогда наше число равно
100a + 10b + a = (98a + 7b) + 3(a + b). Первое слагаемое делится на 7. Если второе слагаемое делится на 7, то и само число делится на 7. Обратно, если число делится на 7, то второе слагаемое 3(a + b) делится на 7, следовательно, a + b делится на 7.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет