Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

Решите уравнение  12<i>a</i> + 11<i>b</i> = 2002  в натуральных числах.

Решите уравнение в целых числах  <i>m</i>² − <i>n</i>² = 2002.

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

<b>Два взвешивания.</b>Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивых (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

<b>Три попарно касающиеся окружности.</b>Из трех данных точек как из центров постройте три попарно касающиеся окружности.

Решите систему уравнений:

    ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> = 6,

    ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 4,

    ¹/_<i>z</i> + ¹/_<i>x</i> = 5.

<b> Режем прямоугольник.</b>Клетчатый прямоугольник разрезали на прямоугольники 1 х 2 (доминошки) так, что любая прямая, идущая по линиям сетки, рассекает кратное четырем число доминошек. Докажите, что длина одной из сторон делится на 4.

Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на её мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

При каких значениях <i>a</i> и <i>b</i> выражение  <i>p</i> = 2<i>a</i>² − 8<i>ab</i> + 17<i>b</i>² − 16<i>a</i> − 4<i>b</i> + 2044  принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

Двое пишут 2<i>k</i>-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи:   а)  <i>k</i> = 10;   б)  <i>k</i> = 15.

Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.

Доказать, что каждое из чисел последовательности 11, 111, 1111, ... не является квадратом натурального числа.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:

  а)  80 коп.;

  б)  одного рубля.

<b>Найти сумму.</b>Найти сумму <img src="/storage/problem-media/88337/problem_88337_img_2.gif" width="236" height="42" alt="summa"><br clear="all">.

Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трёх чисел по любому из шести отрезков была бы одной и той же? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88335/problem_88335_img_2.gif"></div>

<b> Шесть на два.</b>Восстановите числовой пример на деление <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88333/problem_88333_img_2.gif"></div><br clear="all">

<b>Налим-лиман.</b>Найти такие цифры, которые при подстановке их вместо букв в выражение НАЛИМ × 4 = ЛИМАН давали тождество (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым одинаковые)

Докажите, что  <img src="/storage/problem-media/88321/problem_88321_img_2.gif" width="135" height="41" align="middle">.

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., 99, 100. Разрешается менять местами два числа, между которыми стоит ровно одно число. Можно ли получить ряд 100, 99, 98, ..., 2, 1?