Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 3-8 класса - сложность 2-5 с решениями
Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через <i>V</i>(<i>n, b</i>) обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что <i>V</i>(36, 2) = 5). Докажите, что <i>V</i>(<i>n, b</i>) < <sup><i>n</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>.
Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif"> В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.
Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек <i>n</i> + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.
Точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Построим треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, стороны которого параллельны отрезкам <i>PA, PB, PC</i>
(<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> || <i>PA, C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> || <i>PB, A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> || <i>PC</i>). Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> проведены прямые, пар...
Пусть в прямоугольном треугольнике <i>AB</i> и <i>AC</i> – катеты, <i>AC > AB</i>. На <i>AC</i> выбрана точка <i>E</i>, а на <i>BC</i> – точка <i>D</i> так, что <i>AB = AE = BD</i>.
Докажите, что треугольник <i>ADE</i> прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника <i>ABC</i> относятся как 3 : 4 : 5.
<i>n</i> чисел (<i>n</i> > 1) называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на <i>n</i> – 1. Пусть <i>a, b, c, ... – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что
а) все они положительны;
б) <i>a + b > c</i>;
в) <i>a + b > <sup>S</sup></i>/<sub><i>n</i>–1</sub>.
<i>n</i> школьников хотят разделить поровну <i>m</i> одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
а) При каких <i>n</i> это возможно, если <i>m</i> = 9?
б) При каких <i>n</i> и <i>m</i> это возможно?
Круг поделили хордой <i>AB</i> на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки <i>A</i>. При этом повороте точка <i>B</i> перешла в точку <i>D</i> (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55754/problem_55754_img_2.gif"></div>Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка <i>BD</i>, перпендикулярны друг другу.
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} определяется правилами: <i>a</i><sub>0</sub> = 9, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif"> .
Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i><sub>10</sub> содержится не менее 1000 девяток.