Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число, <i>n</i> > 1.
Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел <i>x<sup>n</sup> – a<sup>n</sup></i> и 2<i>a<sup>n</sup> – x<sup>n</sup></i> равна числу <i>a</i>.
Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>k ≤ n</i>. Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Последовательность <i>x</i><sub>0</sub>, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... определена следующими условиями: <i>x</i><sub>0</sub> = 1, <i>x</i><sub>1</sub> = λ, для любого <i>n</i> > 1 выполнено равенство <div align="center">(α + β)<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub></i> = α<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub>x</i><sub>0</sub> + α<sup><i>n</i>–1</sup>β<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sub>1</sub> + α<sup><i>n</i>–2</sup>β<sup>2</sup>...
Хозяин обещает работнику платить в среднем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif"> рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif"> Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>s</i>(<i>n</i>) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде <i>m = n + s</i>(<i>n</i>). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + <i>s</i>(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.