Задача
На дуге A1A2n + 1описанной окружности Sправильного (2n+ 1)-угольника A1...A2n + 1взята точка A. Докажите, что: а) d1+d3+ ... +d2n + 1=d2+d4+ ... +d2n, где di=AAi; б) l1+ ... +l2n + 1=l2+ ... +l2n, где li — длина касательной, проведенной из точки Aк окружности радиуса r, касающейся Sв точке Ai(все касания одновременно внутренние или внешние).
Решение
а) Запишем теорему Птолемея для всех четырехугольников с вершинами в точке Aи трех последовательных вершинах данного многоугольника; затем сгруппируем в полученных равенствах сомножители, в которые входят diс четными номерами, в правую часть. Сложив эти равенства, получим(2a+b)(d1+...+d2n + 1) = (2a+b)(d2+...+d2n), где a — сторона данного многоугольника, b — его наименьшая диагональ. б) Пусть R — радиус окружности S. Тогда li=di$\sqrt{(R\pm r)/R}$(см. задачу 3.20). Остается воспользоваться результатом задачи а).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь