ПустьP— вторая точка пересечения отрезкаCC₁с вписанной окружностью. Тогда$\angle$AB₁C₁=$\angle$B₁PC₁, поэтому$\triangle$CPB₁$\sim$$\triangle$CB₁C₁, а значит,PB₁/B₁C₁=CP/CB₁. Аналогично доказывается, чтоCP/CA₁=PA₁/A₁C₁. Учитывая, чтоCA₁=CB₁, получаемPB₁ ^. A₁C₁=PA₁ ^. B₁C₁. По теореме ПтолемеяPB₁ ^. A₁C₁+PA₁ ^. B₁C₁=PC₁ ^. A₁B₁, т.е.2PB₁ ^. A₁C₁= 2PC₁ ^. QA₁. Ясно также, что$\angle$B₁PC₁=$\angle$QA₁C₁. Поэтому$\triangle$B₁PC₁$\sim$$\triangle$QA₁C₁, а значит,$\angle$BC₁P=$\angle$QC₁A₁. Замечание. Утверждение задачи можно переформулировать следующим образом: точка Жергонна треугольникаABCсовпадает с точкой Лемуана треугольникаA₁B₁C₁.

Ответ задачи отсутствует