Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Коники как геометрические места точек» - сложность 2 с решениями
параграф 6. Коники как геометрические места точек
НазадДокажите, что центры всех правильных треугольников, вписанных в данную конику, лежат на некоторой конике.
Через каждую точку<i>X</i>, лежащую внутри данной окружности<i>S</i>, проводится прямая<i>l</i>, ортогональная прямой<i>XO</i>, где<i>O</i>— данная точка, не лежащая на окружности<i>S</i>. Описать множество, заметаемое всеми прямыми <i>l</i>.
По прямым<i>l</i>и<i>l'</i>с постоянными скоростями<i>v</i> ≠ <i>v'</i>движутся точки<i>X</i>и<i>X'</i>. Какое множество заметают прямые <i>XX'</i>?
Даны точка<i>O</i>и прямая<i>l</i>. Точка<i>X</i>движется по прямой<i>l</i>. Описать множество, которое заметают перпендикуляры к прямой<i>XO</i>, восставленные из точки <i>X</i>.
На плоскости даны точки<i>A</i><sub>t</sub>= (1 +<i>t</i>, 1 +<i>t</i>) и<i>B</i><sub>t</sub>= (- 1 +<i>t</i>, 1 -<i>t</i>). Описать множество, заметаемое всеми прямыми<i>A</i><sub>t</sub><i>B</i><sub>t</sub>для всех вещественных чисел<i>t</i>.
Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).
Докажите, что множество точек, равноудаленных от данной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>— фиксированные числа. Докажите, что когда угол$\varphi$пробегает все возможные значения, точки с координатами<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>a</i> cos$\displaystyle \varphi$ + <i>b</i> sin$\displaystyle \varphi$, <i>y</i> = <i>c</i> cos$\displaystyle \varphi$ + <i>d</i> sin$\displaystyle \varphi$ </div>заметают эллипс или отрезок.
Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— фиксированные комплексные числа. Докажите, что при изменении φ от 0 до 2π точки вида<i>ae</i><sup>i$\scriptstyle \varphi$</sup>+<i>be</i><sup>-i$\scriptstyle \varphi$</sup>заметают эллипс или отрезок.