Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Изопериметрическое неравенство» - сложность 2-5 с решениями

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна<i>L</i>, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>L</i>²/2$\pi$.

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи<i>B</i>₁...<i>B</i>_nравны, причём многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_nвписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n.

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна<i>S</i>, а её периметр равен<i>P</i>, то<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$, причём равенство достигается только в случае круга (<i>изопериметрическое неравенство</i>).

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник. б) Докажите, что среди всех выпуклых<i>n</i>-угольников<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс данными величинами углов<i>A</i>_iи данным периметром наибольшую площадь имеет описанный<i>n</i>-угольник.

Докажите, что если выпуклая фигура$\Phi$отлична от круга, то существует фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры$\Phi$делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Докажите, что если существует фигура$\Phi{^\prime}$, площадь которой не меньше площади фигуры$\Phi$, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и$\Phi$, но большей площади.

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры$\Psi$существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.