Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции поворотов» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями
параграф 4. Композиции поворотов
НазадНа сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников<i>APR</i>,<i>BPQ</i>и <i>CQR</i>образуют треугольник, подобный треугольнику<i>ABC</i>.
Пусть<i>AKL</i>и <i>AMN</i> — подобные равнобедренные треугольники с вершиной <i>A</i>и углом $\alpha$при вершине;<i>GNK</i>и <i>G'LM</i> — подобные равнобедренные треугольники с углом$\pi$-$\alpha$при вершине. Докажите, что<i>G</i>=<i>G'</i>. (Треугольники ориентированные.)
На сторонах произвольного треугольника<i>ABC</i>вне его построены равнобедренные треугольники<i>A'BC</i>,<i>AB'C</i>и <i>ABC'</i>с вершинами <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>и углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$при этих вершинах, причем$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 2$\pi$. Докажите, что углы треугольника<i>A'B'C'</i>равны$\alpha$/2,$\beta$/2,$\gamma$/2.
Постройте<i>n</i>-угольник, если известны <i>n</i>точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого<i>n</i>-угольника и имеющих при вершинах углы$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$.
Пусть углы $\alpha$,$\beta$,$\gamma$таковы, что0 <$\alpha$,$\beta$,$\gamma$<$\pi$и $\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$. Докажите, что если композиция поворотов<i>R</i><sub>C</sub><sup>2$\scriptstyle \gamma$</sup><tt>o</tt><i>R</i><sub>B</sub><sup>2$\scriptstyle \beta$</sup><tt>o</tt><i>R</i><sub>A</sub><sup>2$\scriptstyle \alpha$</sup>является тождественным преобразованием, то углы треугольника<i>ABC</i>равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены правильные треугольники<i>A'BC</i>и <i>B'AC</i>внешним образом,<i>C'AB</i> — внутренним,<i>M</i> — центр треугольника<i>C'AB</i>. Докажите, что<i>A'B'M</i> — равнобедренный треугольник, причем$\angle$<i>A'MB'</i>= 120<sup><tt>o</tt></sup>.
а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом. в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.
Внутри выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>построены равнобедренные прямоугольные треугольники<i>ABO</i><sub>1</sub>,<i>BCO</i><sub>2</sub>,<i>CDO</i><sub>3</sub>и <i>DAO</i><sub>4</sub>. Докажите, что если<i>O</i><sub>1</sub>=<i>O</i><sub>3</sub>, то<i>O</i><sub>2</sub>=<i>O</i><sub>4</sub>.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены квадраты с центрами <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. На сторонах треугольника<i>PQR</i>внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника<i>ABC</i>.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360<sup><tt>o</tt></sup>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360<sup><tt>o</tt></sup>.
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.