Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей» - сложность 4 с решениями

Докажите, что3$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$$\geq$4$\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$${\frac{r_a}{a}}$+${\frac{r_b}{b}}$+${\frac{r_c}{c}}$$\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6<i>r</i>.

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, причем <i>OA</i>$\geq$<i>OB</i>$\geq$<i>OC</i>. Докажите, что <i>OA</i>$\geq$2<i>r</i>и <i>OB</i>$\geq$<i>r</i>$\sqrt{2}$.

Докажите, что 27<i>Rr</i>$\leq$2<i>p</i>²$\leq$27<i>R</i>²/2.

Докажите, что ${\frac{r_a}{h_a}}$+${\frac{r_b}{h_b}}$+${\frac{r_c}{h_c}}$$\geq$3.

Докажите, что 6<i>r</i>$\leq$<i>a</i>+<i>b</i>.