Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Вспомогательные равные треугольники» для 6-9 класса - сложность 1-5 с решениями
параграф 4. Вспомогательные равные треугольники
НазадНа сторонах выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам <i>A</i> и <i>C</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.
На неравных сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены равнобедренные треугольники<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>и<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>с углом φ при вершине. а)<i>M</i>– точка медианы<i>AA</i><sub>1</sub>(или её продолжения), равноудаленная от точек<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>MC</i><sub>1</sub>= φ. б)<i>O</i>– точка серединного перпендикуляра к отрезку<i>BC</i>, равноудаленная от точек<i>B</i><sub>1</sub>и<i&g...
а) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены прямоугольные треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>и<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>, причём ∠<i>C</i><sub>1</sub>= ∠<i>B</i><sub>1</sub>= 90°, ∠<i>ABC</i><sub>1</sub>= ∠<i>ACB</i><sub>1</sub>= φ, <i>M</i>– середина<i>BC</i>. Докажите, что <i>MB</i><sub>1</sub>=<i>MC</i><sub>1</sub>и ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>MC</i><sub>1</sub>= 2φ.б) На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены п...
На сторонах треугольника <i>ABC</i> как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники <i>AB</i><sub>1</sub><i>С</i> и <i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i> внешним образом и <i>BA</i><sub>1</sub><i>C</i> внутренним образом. Докажите, что <i>AB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – параллелограмм.
На сторонах произвольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах <i>A', B'</i> и <i>C'</i>, причём α + β + γ = 180°. Докажите, что углы треугольника <i>A'B'C'</i> равны α, β и γ.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> построены внешним образом правильные треугольники <i>BCK</i> и <i>DCL</i>.
Докажите, что треугольник <i>AKL</i> правильный.
Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, причём <i>AB = CD = EF = R</i>. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников <i>BOC, DOE</i> и <i>FOA</i>, отличные от точки <i>O</i>, являются вершинами правильного треугольника со стороной <i>R</i>.
На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i>, длины которых равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>, внешним образом построены прямоугольники размером <i>a</i>×<i>с, b</i>×<i>d, с</i>×<i>a</i> и <i>d</i>×<i>b</i>. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
На катетах <i>CA</i> и <i>CB</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что <i>CD = CE</i>. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек <i>D</i> и <i>C</i> на прямую <i>AE</i>, пересекают гипотенузу <i>AB</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что <i>KL = LB</i>.
Через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> проведены прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, пересекающие его стороны. Из точек <i>B</i> и <i>D</i> опущены перпендикуляры <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub>, <i>DD</i><sub>1</sub> и <i>DD</i><sub>2</sub> на эти прямые. Докажите, что отрезки <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>2</sub> равны и перпендикулярны.
Точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i>, а точка <i>L</i> делит диагональ <i>AC</i> в отношении <i>AL</i> : <i>LC</i> = 3 : 1. Докажите, что угол <i>KLD</i> прямой.
Сторона <i>AD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> в три раза больше стороны <i>AB</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> делят <i>AD</i> на три равные части. Найдите ∠<i>AMB</i> + ∠<i>ANB</i> + ∠<i>ADB</i>.