Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  <i>n</i>⁸ + 1,  либо  <i>n</i>⁸ – 1  делится на 17.

Докажите тождества:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif">   – это количест...

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   3<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + 4 ≥ 0.

<i>a, b, c</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="113" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30872/problem_30872_img_2.gif">

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="286" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30871/problem_30871_img_2.gif">

Докажите, что  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + 8 ≥ 8<i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Пусть <i>p</i> – простое число, и <i>a</i> не делится на <i>p</i>. Докажите, что найдется натуральное число <i>b</i>, для которого  <i>ab</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что  <i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵  также делится на 30.

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что  (<i>a + b</i>)^<i>p</i> ≡ <i>a^p + b^p</i> (mod <i>p</i>)  для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Докажите, что  7¹²⁰ – 1  делится на 143.

Найдите остаток от деления 8⁹⁰⁰ на 29.

Докажите, что  300³⁰⁰⁰ – 1  делится на 1001.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = 1.

Докажите, что  11^<i>n</i>+2 + 12^2<i>n</i>+1  делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.

<i>x, y, z</i> – натуральные числа, причём  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что <i>xy</i> делится на 12.

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

<i>p</i> и  8<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

Решите в целых числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 3 = 0.