Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 3-7 класса - сложность 1 с решениями

<b><em>Слоны, носороги, жирафы.</em></b>Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите следующие формулы: <i>a</i>^<i>n</i>+1 – <i>b</i>^<i>n</i>+1 = (<i>a – b</i>)(<i>aⁿ + a</i>^<i>n</i>–1<i>b + ... + bⁿ</i>); <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + <i>b</i>^2<i>n</i>+1 = (<i>a + b</i>)(<i>a</i>^2<i>n</i> – <i>a</i>^{2<i>n</i>–1}<i>b + a</i>^{2<i>n</i>–2}<i>b</i>² – ... + <i>b</i><sup>2<i&...

Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только один вопрос, на который он может ответить да'',нет'' или ``не знаю''. Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос?

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

  а) гири можно класть только на одну чашку весов;

  б) гири можно класть на обе чашки весов?

Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. Как уравновесить груз в 61 г, положенный на чашу весов?

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:

  а) ¹/₇;   б) ²/₇;   в) ¹/₁₄;   г) ¹/₁₇.

Докажите, что если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то

  а)  <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>);   б)  <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.

Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел <i>a</i> и <i>b</i> из одного множества число  <i>ab</i> – 1  принадлежало другому?

Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что  <i>mn</i>(<i>m + n</i>)  – чётное число.

Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство  [^α/_<i>d</i>] = [^[α]/_<i>d</i>].

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 1,  для которых  <i>n</i>³ – 3  делится на  <i>n</i> – 1.

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Докажите, что составное число <i>n</i> всегда имеет делитель, больший 1, но не больший  <img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60461/problem_60461_img_2.gif">.

Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство  <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

На плоскости дано <i>n</i> точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Из класса, в котором учатся 28 человек, назначаются на дежурcтво в столовую 4 человека.   а) Сколькими способами это можно сделать?   б) Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадёт ученик этого класса Коля Васин?

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?