Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 7-9 класса - сложность 3-5 с решениями

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.

Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:

  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;

  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;

  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Исследуйте системы уравнений: а) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_3.gif"> б) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_4.gif"> в) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" borde...

Зафиксируем числа<i>a</i>₀и<i>a</i>₁. Построим последовательность {<i>a</i>_n} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i>_nчерез<i>a</i>₀,<i>a</i>₁и<i>n</i>.

Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i>_n} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i>,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}$ + 2<i>x</i>² = 1. </div>

Решите систему:

  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61294/problem_61294_img_2.gif"><img width="136" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61294/problem_61294_img_3.gif">

Пусть<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle {\dfrac{x}{1-x^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{y}{1-y^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{z}{1-z^2}}$ = $\displaystyle {\dfrac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}$. </div>

Решите системы:

  a)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_2.gif"><img width="138" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_3.gif">

  б)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_2.gif"><img width="138" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_4.gif">

  в)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" bo...

Числа<i>x</i>,<i>y</i>и<i>z</i>удовлетворяют соотношению<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите, что существуют числа$\alpha$,$\beta$,$\gamma$такие, что$\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$и выполняются равенства<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$,<i>y</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$, <i>z</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$. </div>

Решите уравнение<div align="CENTER"> | 2<i>x</i> - $\displaystyle \sqrt{1-4x^2}$| = $\displaystyle \sqrt{2}$(8<i>x</i>² - 1). </div>

Решите уравнения <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sqrt{1-x^2}$ = 4<i>x</i>³ - 3<i>x</i>;    </td> <td align="LEFT"> в) $\sqrt{1-x}$ = 2<i>x</i>² - 1 + 2<i>x</i>$\sqrt{1-x^2}$;</td> </tr> </table> <table> <tr><td align="LEFT">б) <i>x</i> + ${\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$ = ${\dfrac{35}{12}}$;    </td> <td align="LEFT">г) $\sqrt{\dfrac{1-\vert x\vert}2}$ = 2<i>x</i>² - 1.</td> </tr> </table>

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы выполнялось неравенство<div align="CENTER"> 0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$. </div>

Решите систему

    <i>y</i> = 2<i>x</i>² – 1,

    <i>z</i> = 2<i>y</i>² – 1,

    <i>x</i> = 2<i>z</i>² – 1.

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  <i>x</i>⁴ = <i>Ax</i>² + <i>Bx + C</i>.     (*)

  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  <i>x</i>⁴ + 2α<i>x</i>² + α² = (<i>A</i> + 2α)<i>x</i>² + <i>Bx</i> + (<i>C</i> + α²).     (**)

    Докажите, что для некоторого  α > – ^<i>A</i>/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.

  в) Пользуясь...

а) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x</i> = α<i>y</i> + β  сводится к уравнению <i>ay</i>³ – 3<i>by</i>² – 3<i>ay + b</i> = 0    () от переменной <i>y</i>. б) Докажите, что решениями уравнения () будут числа   <i>y</i>₁ = tg <img width="18" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61279/problem_61279_img_2.gif">,   <i>y</i>₂ = tg <img width="55" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/probl...

Докажите, что если уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0,  <i>x</i>³ + <i>p'x + q'</i> = 0  имеют общий корень, то  (<i>pq' – qp'</i>)(<i>p – p'</i>)² = (<i>q – q'</i>)³.

Решите уравнения

  а)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – 1 = 0;

  б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61276/problem_61276_img_2.gif"> = 0.

Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Когда  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0,  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.

  а) Докажите, что при  <i>p</i> < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x = kt</i>  сводится к уравнению  4<i>t</i>³ – 3<i>t – r</i> = 0   (*)  от переменной <i>t</i>.

  б) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  <i>t</i>&lt...

Найдите все действительные значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + 18 = 0,   <i>x</i>³ + <i>bx</i> + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Докажите, что равенство  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения

<i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.

Пусть уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂ и <i>x</i>₃. Выразите через <i>p</i> и <i>q</i> дискриминант этого уравнения   <i>D</i> = (<i>x</i>₁ – <i>x</i>₂)²(<i>x</i>² – <i>x</i>₃)²(<i>x</i>₃ – <i>x</i>₁)².

Выпишите уравнение, корнем которого будет число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61264/problem_61264_img_2.gif">   Запишите число α без помощи радикалов.