a) Если одно из неизвестных (например, x) больше 1, то  z = 4x³ – 3x = x³ + 3(x³ – x) > 1;  аналогично  y > 1.  Но тогда

x³ + y³ + z³ > x + y + z,  что противоречит равенству, получаемому сложением всех уравнений. Значит, каждое из неизвестных не превосходит 1. Так же доказывается, что каждое из них не меньше –1.

  Поэтому можно сделать замену  x = cos φ.  Тогда получаем  z = cos 3φ,  y = cos 9φ,  x = cos 27φ.  Итак,  cos 27φ = cos φ,  то есть

27φ = ± φ + 2kπ,  откуда  φ = ^kπ/₁₄  или  ^kπ/₁₃.   б) Как легко проверить ни одно из неизвестных не может равняться 1. Поэтому первое уравнение можно записать в виде     После замены

x = tg φ  получаем  y = tg 2φ,  z = tg 4φ,  x = tg 8φ.  Отсюда  tg 8φ = tg φ,  то есть  8φ = φ + kπ.   в) Ясно, что все переменные имеют один знак, поэтому будем считать, что все они положительны.

  Положим x = tg α,  y = tg β,  z = tg γ  (0 < α, β, γ < ^π/₂).  Тогда  tg γ (tg α + tg β) = 1 – tg α tg β,  tg γ = ctg (α + β),  то есть  α + β + γ = ^π/₂.

  С другой стороны,     значит,     Следовательно, 2α, 2β, 2γ – углы прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.

  Отсюда  z = tg ^π/₄ = 1.  Найти tg α и tg β можно либо по формулам половинного угла, либо используя свойство биссектрисы: биссектриса угла 2α делит катет длины 3 на отрезки длины ¹⁵/₉ и ¹²/₉, поэтому  tg α = ¹²/₉ : 4 = ¹/₃;  аналогично,  tg β = ½.   г) Положим  x = tg ^α/₂,  y = tg ^β/₂,  z = tg ^γ/₂  (– π < α, β, γ < π).  Тогда два первых уравнения запишутся в виде  cos α = sin β = cos γ,  а последнее при наших ограничениях, аналогично в), даст условие  α + β + γ = ± π.  Из равенства  cos α = cos γ  получаем  γ = ±α.  Но если  γ = – α,  то  β = ± π,  что невозможно.

  Итак,  γ = α,  β = ± π – 2α,  sin 2α = sin β = cos α,  откуда  cos α = 0  или  sin α = ½.

  В первом случае  α = ± ^π/₂,  β = 0.  Во втором случае  α = ^π/₆,  β = ^2π/₃  или  α = ^5π/₆,  β = – ^2π/₃.

  Напомним, что     (см. задачу 161169).

а)  (0, 0, 0),  ± (1, 1, 1),  ± (cos^π/₁₄, – cos^5π/₁₄, cos^3π/₁₄),  ± (cos^π/₇, – cos^2π/₇, cos^3π/₇),  ± (cos^π/₁₃, – cos^4π/₁₃, cos^3π/₁₃),   ± (cos^2π/₁₃, – cos^5π/₁₃, cos^6π/₁₃)  и все наборы, получающиеся из указанныхциклическимиперестановками.б)  (0, 0, 0),  ± (tg ^π/₇, tg ^2π/₇, – tg ^3π/₇)  и все наборы, получающиеся из указанных циклическими перестановками. в)  (± ¹/₃, ± ¹/₂, ±1). г)