Задача
Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду x4 = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x4 + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – A/2 правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).
Решение
а) Чтобы в уравнении t4 + at³ + bt² + ct + d = 0 устранить коэффициент перед третьей степенью достаточно сделать замену t = x – a/4. б) Для того чтобы выражение (A + 2α)x² + Bx + (C + α²) было полным квадратом, то есть представлялось в виде (px + q)², достаточно обращения в ноль дискриминанта B² – 4(A + 2α)(C + α²). Раскрыв скобки, получим кубическое уравнение α³ + Aα² + 2Cα + AC – B²/4 = 0. (***)
Поскольку левая часть при α = – A/2 равна – B²/4, то уравнение () имеет решение на промежутке [0, + ∞). в) Из кубического уравнения () находим α (например, по формуле Кардано, см. задачу 161262). После этого уравнение (**) записывается в виде
(x² + α)² = (px + q)² и распадается на два квадратных уравнения: x² + α = ± (px + q).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь