Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.

Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:

  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;

  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;

  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Исследуйте системы уравнений: а) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_3.gif"> б) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_4.gif"> в) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" borde...

Тройки чисел(<i>x</i>_n,<i>y</i>_n,<i>z</i>_n)(<i>n</i>$\geqslant$1) строятся по правилу:<i>x</i>₁= 2,<i>y</i>₁= 4,<i>z</i>₁= 6/7,<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    <i>y</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    <i>z</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неог...

Последовательность чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что а) эта последовательность неограничена; б)<i>a</i>₉₀₀₀> 30; в) найдите предел$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

Последовательность чисел<i>x</i>₀,<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = <i>a</i>^x_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$^.$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161333">161333</a>) применить для приближенного нахождения корней многочлена  <i>x</i>² – <i>x</i> – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, если  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂|?

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  имеет корни  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>,  причем  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂| > ... > |<i>x_n</i>|.  В задаче  <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160965">160965</a> был предъявлен способ построения многочлена <i>Q</i>...

Предположим, что цепные дроби  <img width="400" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61331/problem_61331_img_2.gif"> сходятся. Согласно задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161330">161330</a>, они будут сходиться к корням многочлена  <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>):   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> – <img width="98" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/sto...

Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i>²- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i>₀= 0,        <i>y</i>_{n + 1}=${\dfrac{q}{p-y_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i>₀= 0,        <i>z</i>_{n + 1}=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i>и корнями уравнения<i>x</i>²-<i>px</i>+<i>...

Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если

  а)  <i>x</i>₀ = 1;   б)  <i>x</i>₀ = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности?

Опишите разложения чисел <i>x_n</i> в цепные дроби.

<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = <i>x</i>_n - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i>₀следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>²-<i>k&l...

Найдите с точностью до 0,01 сотый член<i>x</i>₁₀₀последовательности {<i>x</i>_n}, если а)<i>x</i>₁$\in$[0; 1],<i>x</i>_{n + 1}=<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1); б)<i>x</i>₁$\in$[0, 1; 0, 9],<i>x</i>_{n + 1}= 2<i>x</i>_n(1 -<i>x</i>_n), (<i>n</i>> 1).

Последовательность чисел {<i>x</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ $\displaystyle \geqslant$ - <i>a</i>,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$. </div>Докажите, что последовательность {<i>x</i>_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

С какой гарантированной точностью вычисляется$\sqrt{k}$при помощи алгоритма задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161299">9.48</a>после пяти шагов?

Докажите, что для чисел {<i>x_n</i>} из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">161297</a> можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = [1;<img width="61" height="62" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_2.gif">].

Оцените разность  |<i>x_n</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_3.gif">|.

<b>Сходимость итерационного процесса.</b>Предположим, что функция<i>f</i>(<i>x</i>) отображает отрезок [<i>a</i>;<i>b</i>] в себя, и на этом отрезке|<i>f'</i>(<i>x</i>)|$\leqslant$<i>q</i>< 1. Докажите, что уравнение<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>имеет на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>] единственный корень<i>x</i>*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:<div align="CENTER"> | <i>x</i>_{n + 1} - <i>x</i>_n| $\displaystyle \leqslant$ | <i>x</i>₁ - <i>x&lt...

Найдите предел последовательности, которая задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 2,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что а) последовательность {<i>a</i>_n} ограничена; б)|<i>a</i>₁₀₀₀- 2| <$\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$${\dfrac{3}{4}}$$\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.

Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения  <i>x</i>³ – <i>x</i> – 1 = 0.

<b>Алгоритм приближенного вычисления $\sqrt[3]{a}$.</b>Последовательность {<i>a</i>_n} определяется условиями:<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i> > 0,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$2<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i>_n=$\sqrt[3]{a}$.

<b>Что останется от прямоугольника?</b>Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны<i>a</i>и<i>b</i>которого находятся в пропорции золотого сечения,то есть удовлетворяют равенству<i>a</i>:<i>b</i>=<i>b</i>: (<i>a</i>-<i>b</i>). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлени...

Исследуйте последовательности на сходимость: а)<i>x</i>_{n + 1}=${\dfrac{1}{1+x_n}}$,    <i>x</i>₀= 1; б)<i>x</i>_{n + 1}= sin <i>x</i>_n,    <i>x</i>₀=<i>a</i>$\in$(0;$\pi$); в)<i>x</i>_{n + 1}=$\sqrt{a+x}$,    <i>a</i>> 0,<i>x</i>₀= 0.

Для последовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$<i>a</i>_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0. </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i>_n= 0.