Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 1-11 класса - сложность 3 с решениями

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Исследуйте системы уравнений: а) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_3.gif"> б) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_4.gif"> в) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" borde...

Последовательность чисел<i>x</i>₀,<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i>₀ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = <i>a</i>^x_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161333">161333</a>) применить для приближенного нахождения корней многочлена  <i>x</i>² – <i>x</i> – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, если  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂|?

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  имеет корни  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>,  причем  |<i>x</i>₁| > |<i>x</i>₂| > ... > |<i>x_n</i>|.  В задаче  <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160965">160965</a> был предъявлен способ построения многочлена <i>Q</i>...

Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i>²- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i>₀= 0,        <i>y</i>_{n + 1}=${\dfrac{q}{p-y_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i>₀= 0,        <i>z</i>_{n + 1}=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$    (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i>и корнями уравнения<i>x</i>²-<i>px</i>+<i>...

Применим метод Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>) для приближённого нахождения корней многочлена   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² – <i>x</i> – 1. Какие последовательности чисел получатся, если

  а)  <i>x</i>₀ = 1;   б)  <i>x</i>₀ = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности?

Опишите разложения чисел <i>x_n</i> в цепные дроби.

<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i>_{n + 1} = <i>x</i>_n - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i>₀следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>²-<i>k&l...

Последовательность чисел {<i>x</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ $\displaystyle \geqslant$ - <i>a</i>,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$. </div>Докажите, что последовательность {<i>x</i>_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

<b>Сходимость итерационного процесса.</b>Предположим, что функция<i>f</i>(<i>x</i>) отображает отрезок [<i>a</i>;<i>b</i>] в себя, и на этом отрезке|<i>f'</i>(<i>x</i>)|$\leqslant$<i>q</i>< 1. Докажите, что уравнение<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>имеет на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>] единственный корень<i>x</i>*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:<div align="CENTER"> | <i>x</i>_{n + 1} - <i>x</i>_n| $\displaystyle \leqslant$ | <i>x</i>₁ - <i>x&lt...

Найдите предел последовательности, которая задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 2,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что а) последовательность {<i>a</i>_n} ограничена; б)|<i>a</i>₁₀₀₀- 2| <$\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$${\dfrac{3}{4}}$$\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.

Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения  <i>x</i>³ – <i>x</i> – 1 = 0.

<b>Алгоритм приближенного вычисления $\sqrt[3]{a}$.</b>Последовательность {<i>a</i>_n} определяется условиями:<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i> > 0,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$2<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i>_n=$\sqrt[3]{a}$.

<b>Что останется от прямоугольника?</b>Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны<i>a</i>и<i>b</i>которого находятся в пропорции золотого сечения,то есть удовлетворяют равенству<i>a</i>:<i>b</i>=<i>b</i>: (<i>a</i>-<i>b</i>). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлени...

Исследуйте последовательности на сходимость: а)<i>x</i>_{n + 1}=${\dfrac{1}{1+x_n}}$,    <i>x</i>₀= 1; б)<i>x</i>_{n + 1}= sin <i>x</i>_n,    <i>x</i>₀=<i>a</i>$\in$(0;$\pi$); в)<i>x</i>_{n + 1}=$\sqrt{a+x}$,    <i>a</i>> 0,<i>x</i>₀= 0.

Для последовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$<i>a</i>_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0. </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>a</i>_n= 0.

<b>Старый калькулятор II.</b>Производная функции ln <i>x</i>при<i>x</i>= 1 равна 1. Отсюда<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}^{}$$\displaystyle {\dfrac{\ln(1+x)}{x}}$ = $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}^{}$$\displaystyle {\dfrac{\ln(1+x)-\ln1}{(1+x)-1}}$ = 1. </div>Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления натурального логарифма числа<i>N</i>. Как и в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161302">9.51</a>, разрешается использовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня.

<b>Старый калькулятор I.</b>а) Предположим, что мы хотим найти$\sqrt[3]{x}$(<i>x</i>> 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить$\sqrt{x}$. Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {<i>y</i>_n}, в которой<i>y</i>₀ — произвольное положительное число, например,<i>y</i>₀=$\sqrt{\sqrt{x}}$, а остальные элементы определяются соотношением<div align="CENTER"> <i>y</i>_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x,y_n}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim...

Зафиксируем числа<i>a</i>₀и<i>a</i>₁. Построим последовательность {<i>a</i>_n} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i>_nчерез<i>a</i>₀,<i>a</i>₁и<i>n</i>.

Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i>_n} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i>,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...

<b>Итерационная формула Герона.</b>Докажите, что последовательность чисел {<i>x</i>_n}, заданная условиями<div align="CENTER"> <i>x</i>₁ = 1,        <i>x</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right.$<i>x</i>_n + $\displaystyle {\frac{k}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right)$, </div>сходится. Найдите предел этой последовательности.

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}$ + 2<i>x</i>² = 1. </div>