Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» - сложность 4 с решениями
глава 8. Алгебра + геометрия
НазадПусть числа<i>u</i><sub>k</sub>определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i><sub>1</sub>+<i>u</i><sub>2</sub>-<i>u</i><sub>3</sub>+...+<i>u</i><sub>2n</sub>= 2<sup>n</sup>(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+<i>u</i><sub>2</sub><sup>2</sup>-<i>u</i><sub>3</sub><sup>2</sup>+...+<i>u</i><sub>2n</sub><sup>2</sup>= (- 1)<sup>n</sup>${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...
<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.
Упростите выражения: а)sin${\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; б)sin${\dfrac{\pi}{2n}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$; в)cos${\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; г)cos${\dfrac{\pi}{2n}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.
Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.