Задача
Докажите, что числа Фибоначчи{Fn} удовлетворяют соотношению
| arcctg F2n - arcctg F2n + 2 = arcctg F2n + 1. | (8.2) |
Получите отсюда равенство
arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F2n + 1 +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$.
Решение
По формуле котангенса суммы
ctg $\displaystyle \left(\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }
F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ }
F_{2n+2}}\right.$arcctg F2n - arcctg F2n + 2$\displaystyle \left.\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }
F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ }
F_{2n+2}}\right)$ = $\displaystyle {\dfrac{F_{2n}F_{2n+2}+1}{F_{2n+2}-F_{2n}}}$ = F2n + 1.
Тем самым равенство (8.2) доказано. Суммируя его поnот
1 до$\infty$, находим
arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F2n + 1 +...= arcctg 1 = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет