Задача
Докажите равенство:
arctg x + arctg y = arctg $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$,
где$\varepsilon$= 0, еслиxy< 1,$\varepsilon$= - 1 , еслиxy> 1 иx< 0,$\varepsilon$= + 1,
еслиxy> 1 иx> 0.
Решение
Прежде всего нетрудно показать, что величиныarctg x+arctg yиarctg ${\dfrac{x+y}{1-xy}}$отличаются друг от друга на$\varepsilon$$\pi$, где$\varepsilon$ — целое число. Действительно,
tg $\displaystyle \left(\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }x+\hbox{\rm arctg\ }
y}\right.$arctg x + arctg y$\displaystyle \left.\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }x+\hbox{\rm arctg\ }
y}\right)$ = $\displaystyle {\dfrac{x+y}{1-xy}}$ = tg $\displaystyle {\dfrac{x+y}{1-xy}}$.
Так как
- $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x + arctg y $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \pi$,
то$\varepsilon$может
принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения$\varepsilon$рассмотрите косинусы левой и правой частей
исходного равенства.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет