Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» - сложность 3 с решениями

Пусть<div align="CENTER"> <i>u</i>_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$. </div>Докажите, что числа<i>u</i>_kможно представить в виде многочлена от cos <i>x</i>.

<b>Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона.</b>Докажите, что из системы (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>) следуют равенства<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c} \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos \alpha,\\cos B=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \beta,\\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos \gamma,\ \hbox{\rm tg\ }\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}=\sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER...

Докажите, что числа Фибоначчи{<i>F</i>_n} удовлетворяют соотношению<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \hbox{\rm arctg\ }F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}=\hbox{\rm arctg\ }F_{2n+1}. \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>arcctg</i> <i>F</i>_2n - <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 2} = <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 1}.</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.2)</td></tr> </table></div>&lt...

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...,<i>a</i>_{n + 1}образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i>₁> 0,<i>r</i>> 0).

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (<i>x</i> > 0). </div>

Найдите алгебраическую связь между углами$\alpha$,$\beta$и$\gamma$, если известно, что<div align="CENTER"> <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i> $\displaystyle \beta$ + <i>tg</i> $\displaystyle \gamma$ = <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$^.<i>tg</i> $\displaystyle \beta$^.<i>tg</i> $\displaystyle \gamma$. </div>

На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности  <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1  и <i>u</i>₁, <i>u</i>₂, <i>u</i>₃ – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i>₂<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₂ вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i>&lt...

Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">

Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Докажите, что уравнение  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  при отображениях  <i>w = z + u</i>  и  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Положительные числа <i>a, b, c, x, y</i>, таковы, что

    <i>x</i>² + <i>xy + y</i>² = <i>a</i>²,

    <i>y</i>² + <i>yz + z</i>² = <i>b</i>²,

    <i>x</i>² + <i>xz + z</i>² = <i>c</i>².

Выразите величину  <i>xy + yz + xz</i>  через <i>a, b и c</i>.

Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

Неотрицательные числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют неравенствам  5 ≤ <i>x, y, z</i> ≤ 8.

Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  <i>S</i> = 2<i>x</i>²<i>y</i>² + 2<i>x</i>²<i>z</i>² + 2<i>y</i>²<i>z</i>² – <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ – <i>z</i>⁴ ?

Пусть <i>x, y, z</i> – положительные числа и  <i>xyz</i>(<i>x + y + z</i>) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (<i>x + y</i>)(<i>x + z</i>).

Решите уравнения при0^<tt>o</tt><<i>x</i>< 90^<tt>o</tt>: a) $\sqrt{13-12\cos x}$+$\sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$= 2$\sqrt{3}$;б) $\sqrt{2-2\cos x}$+$\sqrt{10-6\cos x}$=$\sqrt{10-6\cos 2x}$;в) $\sqrt{5-4\cos x}$+$\sqrt{13-12\sin x}$=$\sqrt{10}$.

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом36^<tt>o</tt>при вершине несоизмеримы. б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности$\sqrt{2}$.

Найдите  cos 36°  и  cos 72°.

Вычислите

  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;

  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

Докажите равенства:

  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;

  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;

  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">