Задача
Докажите равенства:
arctg x + arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$; arcsin x + arccos x = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.
Решение
На основании определения имеем:
- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$, 0 $\displaystyle \leqslant$ arcctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \pi$.
- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x + arcctg x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{3\pi}{2}}$.
Остается проверить равенство
sin(arctg x + arcctg x) = 0.
Для доказательства второго
равенства достаточно заметить, что
- $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ $\displaystyle \leqslant$ arcsin x + arccos x $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\dfrac{3\pi}{2}}$
и найти
sin(arcsin x + arccos x).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет