Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Геометрия помогает алгебре»

Положительные числа <i>a, b, c, x, y</i>, таковы, что

    <i>x</i>² + <i>xy + y</i>² = <i>a</i>²,

    <i>y</i>² + <i>yz + z</i>² = <i>b</i>²,

    <i>x</i>² + <i>xz + z</i>² = <i>c</i>².

Выразите величину  <i>xy + yz + xz</i>  через <i>a, b и c</i>.

Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

а) Найдите все корни <i>x_k</i> уравнения   cos <i>x</i> + cos 2<i>x</i> + cos 3<i>x</i> + ½ = 0.

б) Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа  2 cos <i>x_k</i>?

Неотрицательные числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют неравенствам  5 ≤ <i>x, y, z</i> ≤ 8.

Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  <i>S</i> = 2<i>x</i>²<i>y</i>² + 2<i>x</i>²<i>z</i>² + 2<i>y</i>²<i>z</i>² – <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ – <i>z</i>⁴ ?

Пусть <i>x, y, z</i> – положительные числа и  <i>xyz</i>(<i>x + y + z</i>) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (<i>x + y</i>)(<i>x + z</i>).

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>ctg</i> 30^<tt>o</tt> + <i>ctg</i> 75^<tt>o</tt> = 2. </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> 1 + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>

Решите уравнения при0^<tt>o</tt><<i>x</i>< 90^<tt>o</tt>: a) $\sqrt{13-12\cos x}$+$\sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$= 2$\sqrt{3}$;б) $\sqrt{2-2\cos x}$+$\sqrt{10-6\cos x}$=$\sqrt{10-6\cos 2x}$;в) $\sqrt{5-4\cos x}$+$\sqrt{13-12\sin x}$=$\sqrt{10}$.

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом36^<tt>o</tt>при вершине несоизмеримы. б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности$\sqrt{2}$.

Найдите  cos 36°  и  cos 72°.

Вычислите

  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;

  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

Докажите равенства:

  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;

  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;

  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">