Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 6-11 класса - сложность 3 с решениями
глава 11. Последовательности и ряды
НазадДокажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">
Числа <i>P<sub>kl</sub></i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.
Докажите, что при любых <i>k</i> и <i>l</i> многочлен <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) является возвратным, то есть <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61527/problem_61527_img_2.gif">
(Определение многочленов Гаусса см. <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>.)
Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif"> где
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif"> – обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.
Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.
Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.
На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a<sub>k</sub></i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a<sub>k</sub></i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:
а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) + <i>F</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)<i>z + F</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F<sub>n</sub></i>(<i>x</i>)<i>z<sup>n</sup></i> + ...
и последовательности многочленов Люка <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) + <i>L</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)<i>z + L</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...
Вычислите суммы а)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{F_n}{2^n}}$; б)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{L_n}{2^n}}$. Здесь L<sub>n</sub>обозначает числа Люка, смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>.
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L<sub>n</sub></i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).
Докажите, что бесконечная сумма<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"> </td> <td align="LEFT">0, 1</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 01</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 002</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 0003</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 00005</td>...
а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>F</i><sub>0</sub> + <i>F</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>F</i><sub>2</sub><i>x</i>² + ... + <i>F<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> + ... может быть записана в виде <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_2.gif"> где <img width="15" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_3.gif"> = <img width="41" height="41" align="MIDDLE" border="0" s...
Функции <i>a, b</i> и <i>c</i> заданы рядами <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_2.gif"> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_3.gif"> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_4.gif">Докажите, что <i>a</i>³ +<i>b</i>³ +<i>c</i>³ – 3<i>abc</i>= (1 +<i>x</i>³)<sup><i>n</i></sup>.
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i><sup>9</sup>)<sup>3</sup>(1 + <i>x</i><sup>–1</sup> + ... + <i>x</i><sup>–9</sup>)<sup>3</sup> = <i>x</i><sup>27</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + ... + <i>x</i><sup>–27</sup>;...
Докажите, что для всех неотрицательных <i>n</i> выполняются равенства а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_3.gif">
Пусть <i>a<sub>n</sub></i> – число решений уравнения <i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i> = <i>n</i> в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a<sub>n</sub></i>.
а) Докажите равенства: <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)<sup><i>k</i></sup> = (1 – <i>x</i>)<sup>–<i>k</i></sup>.
б) Найдите формулу для <i>a<sub>n</sub></i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.
Вычислите суммы:
а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61492/problem_61492_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61492/problem_61492_img_3.gif">
Пусть(1 +$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)<sup>n</sup>=<i>p</i><sub>n</sub>+<i>q</i><sub>n</sub>$\sqrt{2}$+<i>r</i><sub>n</sub>$\sqrt{3}$+<i>s</i><sub>n</sub>$\sqrt{6}$(<i>n</i>$\geqslant$0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{q_n}}$; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{r_n}}$; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{s_n}}$.
Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности a) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>; б) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>3</sup>?
Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 4<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 5<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i><sub>0</sub> = 1, <i>a</i><sub>1</sub> = 2, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 2<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 2<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align...
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Определим последовательности {<i>x</i><sub>n</sub>} и {<i>y</i><sub>n</sub>} при помощи условий:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n</sub> = <i>x</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>y</i><sub>n - 1</sub>sin<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$, <i>y</i><sub>n</sub> = <i>y</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>x</i><sub>n - 1</sub>cos<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$; <i>x</i><sub>0</sub> = 0, <i>y</i><sub>0</sub> = cos$\displaystyle \alpha$. </div>Найдите выражение для<i>x</i><sub>n</sub>и<i>y</...
Докажите, что последовательность <i>a<sub>n</sub></i> = 1 + 17<i>n</i>² (<i>n</i> ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на<i>n</i>-ом году роста первоначального растения?
Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника <i>ABCDEF</i>, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>C</i> за <i>n</i> прыжков?
б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в <i>D</i>?
<b>Лягушка-сапер</b>.
в) Пусть путь лягушки начинается в вершине <i>A</i>, а в вершине <i>D</i> находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через <i>n</i> секунд?
г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?