Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 8-11 класса - сложность 3 с решениями
Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>):
а) <i>x</i><sup>4</sup><i>y</i>²<i>z + y</i><sup>4</sup><i>x</i>²<i>z + y</i><sup>4</sup><i>z</i>²<i>x + z</i><sup>4</sup><i>y</i>²<i>x + x</i><sup>4</sup><i>z</i>²<i>y + z</i><sup>4</sup><i>x</i>²<i>y</i> ≥ 2(<i>x</i>³<i>y</i>²<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>³<i>z</i>² + <i>x</i>²<i>y</i>²<i>z</i...
Выведите из <i>неравенства Мюрхеда</i> (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>) неравенство <i>между средним арифметическим и средним геометрическим</i>.
Докажите неравенства:
а) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;
б) <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;
в) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> + <i>t</i><sup>4</sup> ≥ 4<i>xyzt</i>;
г) <i>x</i><sup>5</sup> + <i>y</i><sup>5</sup> ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...
Докажите, что если α < β, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>), причём равенство возможно только когда <i>x</i><sub>1</sub> = <i>x</i><sub>2</sub> = ... = <i>x<sub>n</sub></i>.
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными: <i>S</i><sub>–1</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>0</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>1</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>2</sub>(<b><i>x</i></b>).
Определение средних степенных можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – положительные числа, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61411/problem_61411_img_2.gif"> Значения переменных считаются положительными.
Докажите неравенства:
а) <i>n</i>(<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub></i>) ≥ (<img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_2.gif"> + ... + <img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_3.gif">)²
б) <img width="119" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_4.gif"> ≤ <img width="24" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/stor...
Используя результат задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161403">161403</a>, докажите неравенства:
а) <img width="76" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_2.gif"> ≤ <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_3.gif"> <i>неравенство Коши</i>);
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_4.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61404/problem_61404_img_5.gif"> где <i>b</i><sub>1</sub&...
Докажите неравенство: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61403/problem_61403_img_2.gif">
Значения переменных считаются положительными.
Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a> а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif"> б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>: <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">; в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>: ...
Докажите неравенство: <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите неравенства:
а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_3.gif"> при <i>n</i> > 1; в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_4.gif"> при <i>n</i> > 6.
Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство <i>ab ≤ <sup>a<sup>p</sup></sup></i>/<i><sub>p</sub> + <sup>b<sup>q</sup></sup></i>/<sub><i>q</i></sub>.
Докажите неравенство (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)...(1 + <i>x</i><sub><i>n</i></sub>) ≥ 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>x</i><sub>1</sub>...<i>x<sub>n</sub></i> = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите, что при <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0 выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство <i>x</i><sup>α</sup><i>y</i><sup>β</sup>≤ α<i>x</i>+ β<i>y</i> для положительных значений переменных при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).