Задачи и олимпиады по математике

Задача

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 161424):

а) x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);

б) x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;

в) x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.

Значения переменных считаются положительными.

Решение

Доказательство с помощью неравенства Мюрхеда см. в указанной задаче. а) Достаточно сложить три неравенства вида x⁴y²z + x²y⁴z – 2x³y³x = x²y²z(x – y)² ≥ 0. б) Первый способ. Докажем сначало неравенство x⁵ + y⁵ ≥ x³y² + x²y³. После деления на x + y оно приводится к виду

x⁴ + y⁴ – x³y – xy³ = (x³ – y³)(x – y) ≥ 0. Осталось сложить три неравенства вида x³y² + y²z³ – x²y²z – xy²z² = y²(x² – z²)(x – z) ≥ 0.

Второй способ. По неравенству Коши

3(x²y²z + x²yz² + xy²z²) = 3xyz(xy + xz + yz) ≥ (x³> + y³ + z³)(x² + y² + z²) = x⁵ + y⁵ + z⁵ + (x³y² + x²y³) + (x³z² + x²z³) + (y³z² + y²z³).

Поэтому достаточно проверить, что x⁵+y⁵–x³y² –x²y³ = (x³ –y³)(x² –y²) ≥ 0. в) Достаточно сложить четыре неравенства вида x³ +y³ +z³ ≥ 3xyz.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления