Задача
Докажите неравенства:
а) x4 + y4 + z4 ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
г) x5 + y5 ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.
Решение
а) См. задачу 130869. б) Первый способ. Неравенство следует из разложения x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) (см. задачу 161005) и неравенства
x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (см. задачу 130865).
Второй способ. Это неравенство Коши (см. задачу 160310) для трёх переменных. в) Первый способ. x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 2x²y² + 2z²t² ≥ 4xyzt.
Второй способ. Это неравенство Коши для четырёх переменных. г) Сократив на x + y, видим, что достаточно доказать неравенство x4 + y4 ≥ x³y + xy³. Но x4 – x³y – xy³ + y4 = (x – y)(x³ – y³) = (x – y)²(x² + xy + y²) ≥ 0.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь