Задача
Даны рациональные положительные p, q, причём 1/p + 1/q = 1. Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ab ≤ ap/p + bq/q.
Решение
Решение 1:Можно подобрать натуральные m и n так, чтобы выполнялись равенства 
После замены α = a1/m, β = b1/n исходное неравенство принимает вид 
Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством Коши: 
Решение 2:В силу выпуклости вверх функции ln x неравенство
ln(αx + (1 – α)y) ≥ α ln x + (1 – α) ln y выполняется при 0 < α < 1 для всех положительных x и y (см. задачу 161406). Подставив α = 1/p, x = ap, y = bq, получим 
что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет