Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Тождества, неравенства и делимость» - сложность 2 с решениями
параграф 2. Тождества, неравенства и делимость
НазадНайдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.
Найти корни уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">
Вычислите произведение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">
Для каких <i>n</i> выполняются неравенства: а) <i>n</i>! > 2<sup><i>n</i></sup>; б) 2<i><sup>n</sup> > n</i>².
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60307/problem_60307_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i> > 1: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60303/problem_60303_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60302/problem_60302_img_2.gif">
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60301/problem_60301_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 2<sup>3<sup><i>n</i></sup></sup> + 1 делится на 3<sup><i>n</i>+1</sup>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 4<sup><i>n</i></sup> + 15<i>n</i> – 1 делится на 9.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> число 3<sup>2<i>n</i>+2</sup> + 8<i>n</i> – 9 делится на 16.
Числа<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,... определены следующим образом:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>0</sub> = 2, <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = 3<i>a</i><sub>n</sub> - 2<i>a</i><sub>n - 1</sub> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 2). </div>Найдите и докажите формулу для этих чисел.
<b>Факториальная система счисления.</b>Докажите, что каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i><sub>1</sub><sup> . </sup>1! + <i>a</i><sub>2</sub><sup> . </sup>2! + <i>a</i><sub>3</sub><sup> . </sup>3! +..., </div>где0$\leqslant$<i>a</i><sub>1</sub>$\leqslant$1,0$\leqslant$<i>a</i><sub>2</sub>$\leqslant$2,0$\leqslant$<i>a</i><sub>3</sub>$\leqslant$3...
Докажите тождество: 1<sup> . </sup>2<sup> . </sup>3 + 2<sup> . </sup>3<sup> . </sup>4 +...+<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(<i>n</i>+ 2) =$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(<i>n</i>+ 2)(<i>n</i>+ 3).
Докажите тождество: 1<sup>3</sup>+ 2<sup>3</sup>+...+<i>n</i><sup>3</sup>= (1 + 2 +...+<i>n</i>)<sup>2</sup>.
<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что (1 + <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> ≥ 1 + <i>nx</i>.
Докажите, что 11<sup><i>n</i>+2</sup> + 12<sup>2<i>n</i>+1</sup> делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.