Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 6-10 класса - сложность 1-2 с решениями

Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что  <i>MK = KN</i>.

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AD</i> < <i>AB</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AD</i> < <i>AB</i> < <i>AA</i>₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AB</i> < <i>AA</i>₁ < <i>AD</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&gt...

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> лежит на ребре <i>CD</i> и  2<i>DF = FC</i>,  точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 3<i>BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 2<i>BS</i>,  точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB</i>,  2<i>AB = BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  S ≠ A,  AB = BS</i>.  В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

Сторона основания <i>ABCD</i> правильной пирамиды <i>SABCD</i> равна <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_2.gif">, угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_3.gif">. Точка <i>M</i> – середина ребра <i>SD</i>, точка <i>K</i> – середина ребра <i>AD</i>. Найдите:1) объём пирамиды <i>CMSK</i>;2) угол между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>;3) расстояние между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>.

В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i><sub>2</s...

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно <i>a</i>, а противоположное ребро равно <i>b</i>. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.

Через центр вписанной окружности четырёхугольника <i>ABCD</i> проведена прямая. Она пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>X</i> и сторону <i>CD</i> в точке <i>Y</i>; известно, что  ∠<i>AXY</i> = ∠<i>DYX</i>.  Докажите, что  <i>AX</i> : <i>BX = CY</i> : <i>DY</i>.

<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через точку <i>I</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что отрезок <i>XY</i> касается вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности.

Внутри треугольника <i>ABC</i> на биссектрисе его угла <i>B</i> выбрана такая точка <i>M</i>, что  <i>AM = AC</i>  и  ∠<i>BCM</i> = 30°.  Докажите, что  ∠<i>AMB</i> = 150°.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. На продолжении отрезка <i>C</i>₁<i>B</i>₁ отложен отрезок <i>B</i>₁<i>K</i> по длине равный <img align="middle" src="/storage/problem-media/116500/problem_116500_img_2.gif">. Известно, <i>AA</i>₁ = <i>BC</i>. Докажите, что <i>AB = BK</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и  <i>KL = KC</i>.  На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что  ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>.  Докажите, что  <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>

В треугольнике<i>ABC</i>известно, что<i>AB</i>= 10,<i>BC</i>= 24, а медиана<i>BD</i>равна 13. Окружности, вписанные в треугольники<i>ABD</i>и<i>BDC</i>касаются медианы<i>BD</i>в точках<i>M</i>и<i>N</i>соответственно. Найдите<i>MN</i>.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 9. Найдите площадь трапеции.

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.

Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.